ryouのmath废料
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高等数学

重点难点积分公式
  • 如你所见，这是一个链接：https://zh.wikipedia.org/wiki/积分表
  • 常用积分公式：
    • 等价无穷小
  • 当x → 0，
  • 用处：洛必达法则（在极限存在的情况下，分子分母都无穷小或无穷大，则分子分母同时分别求导），
  • 大多可用taylor公式（taylor公式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!x^2 + ... + O(x^n)）
    • 空间解析几何
  • 右手坐标系
  • 证明三个向量共面：(a ⨯ b) · c = 0
  • 平面方程表达式： 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
              一般式：Ax + By + Cz + D = 0
              截距式：xa + yb + zc = 1
  • 点面距离公式形式和点线一致
  • 空间曲线切向量：xyz三个方向关于t（或者x）的导数，用于切线方程、切平面方程
  • 空间曲面法向量：xyz三个方向的各自偏导数（梯度），用于切平面方程、法线方程
    • 一些基础解题模板，不会不行，不懂就不懂，用就对了😥
  • 求二元函数极值：两个偏函数等于零 求出驻点，分别在每个驻点上 ———— A = fxx(x0,y0)，B = fxy(x0,y0)，C = fyy(x0,y0)，B2-AC < 0，则有极值，其中A>0则为极小值。
  • 链式法则的熟练运用：换元，一些证明题，尤其是那个u = 根号下x^2+y^2 这玩意，它的偏导可以表示成 x/u
  • 级数求和函数：二话不说，先求导或者积分，尤其注意exx = （求和）xn/n!，看到 n! 就要想泰勒公式
  • 证明收敛：拆分成收敛，比较（直接放缩 或者 用比值与0比较）（p级数，1/n是发散），积分（积分有上界），比值（下一项和这一项比值 的极限小于1），根值（比1小发散）
    • 一些个人解题思想，🫥🪽
  • 第一，不要畏难，其实积分的很多题和高中导数的一些题型很相似，只是积分看着很大一坨，实际上先把问题拆分来看，积分只是其中的一环，其他的在高中的时候你就会了。
    • 全增量、全微分
  • 在微积分中，函数f在某一点的全微分（英语：total derivative）是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。
  • 全微分可以看成是把单变量函数的微分推广到多变量函数上：单变量函数的全微分与其微分相同；而多变量函数在某点的全微分为一线性映射，通常可用矩阵或向量表示。
  • 充分条件：
  • 必要条件：对于二元函数，在该点可微，则在该点的全微分为：
    • 链式法则
    • 方向导数和梯度
  • 方向导数：偏导数的推广，表示某一函数沿着某一方向的变化率。directional derivative
  • 梯度：其方向是在该点的最快增长方向，其量是在这个方向的增长率。梯度公式
  • 利用方向导数描述梯度：函数f在P点的梯度grad f是一个向量，它的方向是函数f变化最快的方向，它的模就是函数f在P点的方向导数最大值。
  • 全导数，偏导数，方向导数
    • 二重积分和三重积分
  • 直角坐标系和极坐标系，dxdy=r drdθ，dxdydz=r^2 sinφ drdθdφ
  • 第一类曲线积分：ds = 根号下（ 两个关于t的函数的导数 的平方和） * dt
  • 平面第二类曲线积分：参数法（转化为t的定积分）：Pdx + Qdy = { P(t) * (关于t的x函数的导数) + Q（t） * （关于t的y函数的导数） } * dt

               极坐标：ds = 根号下（ 关于θ的r函数的平方 和 关于θ的r函数的导数的平方 之和） * dθ

               格林公式:（L封闭、分段光滑、有向，P、Q具有一阶连续偏导）Pdx + Qdy = { (Q关于x的偏导) - （P关于y的偏导） } * dxdy

               路径无关定理：不就是格林公式延展的特殊情况（不封闭，但是等式右边为0）吗，此时Pdx + Qdy 具有原函数u（x，y）

               联系第一类曲线积分：Pdx + Qdy = { Pcosa + Qcosb } * ds 【cosa = （x关于t的函数导数 除以 根号下的各方向的关于t的函数导数的平方和）】

  • 空间第二类曲线积分：参数法（就是变成三个而已），或者斯托克斯公式转化为曲面积分（封闭曲线 or 添加辅助线）
  • 第一类曲面积分：投影法：F(x,y,z)dv = f(x,y,z(x,y)) * (根号下 1 + z关于x的偏导数的平方 + z关于y的偏导数的平方) * dxdydz
  • 第二类曲面积分：投影法：F(x,y,z)dv = ( Pcosa + Qcosb +Rcosc ) dv = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy

             高斯公式：封闭 分片光滑 外侧 一阶连续偏导数，和格林公式的区别就是全是加法（都是没有的那个微分的偏导）

             联系第一类曲面积分：前面有，转换投影（？）
    • 散度与旋度（向量分析）
  • 散度与通量，旋度与环量
    • ---------------------------
  • 散度：向量分析中的一个向量算子，将向量空间上的一个向量场（矢量场）对应到一个标量场上。三维空间的散度（且一阶连续偏导）：散度
  • 相关：四元数（散度研究起源），电场力
  • 高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）：空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起来的三维区域，则有
  • 高斯公式散度表示：
    • ---------------------------
  • 旋度（curl或者记作rot）：是一个向量算子，表示在三维欧几里德空间中的向量场的无穷小量旋转。在向量场每个点上，点的旋度表示为一个向量，称为旋度向量。这个向量的特性（长度和方向）刻画了在这个点上的旋转。
  • 相关：四元数，光学场理论
  • 斯托克斯定理：
  • 其旋度表示：
    • 微分方程
  • 几种常见微分方程：
    • 重积分的应用
  • 质心
  • 转动惯量
  • 引力
    • 大学物理
  • 第一：积分思想
  • 第二：三维高度
  • 第三：不懂装懂
  • 第四：类比高中
    • 级数
  • 级数（英语：Series）是数学中一个有穷或无穷的序列之和，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。
  • 柯西审敛准则（在一个完备空间中）：对任意的，总存在N0>0，使得任意的n>m>N0，
    • 调和级数
  • 调和级数（英语：Harmonic series）:
  • 比较审敛法：
  • 积分判别法（integral test）：
  • 反证法：
  • 相关级数：
  • 交错调和级数：；拓展：墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）、π的莱布尼茨公式。
  • 广义调和级数：，（a！=0，b为实数），由比较审敛法可知广义调和级数全部发散。
  • p级数：，p<=1发散，p>1收敛（过饱和调和级数）（其和也就是黎曼ζ函数在p的值）
  • 随机调和级数：，其中分子是恒等分布的独立随机变量，取值范围为+1和-1，取这两值的概率都是0.5。该级数收敛的概率是1。
    • 泰勒级数
    傅里叶级数

    • 线性代数

    克拉默法则
  • 方程组：;
      当矩阵可逆时：解为，，
  • 在微分几何上的应用：
      用雅可比矩阵表达：
  • 缺点：难以实际用于计算，引入---->高斯消元法，用于计算机
    • 计算机图形学入门的入门

    概率论

    正态分布
  • 正态分布（normal distribution），物理学中通称高斯分布（Gaussian distribution），是一个非常常见的连续概率分布。
  • 概率密度函数为：
  • 记为：前者为平均数，后者为标准差。

    • 离散数学

    命题
  • 常用命题定律表达式：
  • 重言式（永真）和矛盾式（永假）：
    • 逻辑
  • 逻辑推理
    • 集合论基础
  • 两个集合相等 ⇔ 互为子集（证明题常用）
  • 有限集合A有n个元素 ⇔ 幂集有2^n个元素
  • 集合的运算：· 分配律成立
            · A - B = A ⋂ ~B
            · A - B = A - (A ⋂ B)
  • 序偶和笛卡尔积：A ⨯ B = (序偶的前一项是A元素，后一项是B元素)
  • 称Ix是X上的恒等关系{〈x,x〉| ∀x∈X}
  • 二分图
  • 自反，对称，传递，反自反（对角线全为零），反对称（不存在反向弧线，只有单向弧线）
  • 复合关系和逆关系：R ∘ S = {〈x,z〉| 懂的都懂 }；Rc = {〈y,x〉| 懂的都懂 }
    • 关系的闭包运算
  • R自反，当且仅当r(R)=R
  • R对称，当且仅当s(R)=R
  • R传递，当且仅当t(R)=R
  • 自反闭包、对称闭包、传递闭包：就是最小的满足自反、对称、传递的反包含的关系集合
    • 等价和序
  • 等价关系：一个在集合A上的关系R自反、对称、传递，（就证明用的，但其实也可以理解为字面意思，经典就是同余关系）；
  • 等价类：就是A上做划分，每个划分之间独立（分别自反、对称、传递闭包）。
  • 偏序关系：就是反对称的一半等价关系，（比如 小于 这种关系，只有一半）；
  • 序偶〈A,≼〉称作偏序集，如果再盖住（一坨变一串），就可以画哈斯图了。
    • 哈斯图
  • 上界：对于上界里的元素都是（非严格，即可以是本身）大于所选集合的元素
  • 上确界：最小上界（唯一）
    • 函数
  • 定义：domf = A，ranf ⊆ B，入射（单射，一对一）+满射（ranf = B）=双射；
  • 逆函数：前提就是必须是双射（因为上面的规定），记作f c（或者 f -1），ran和dom反过来。
  • 复合函数：g∘f(x)=g(f(x))，即先做f，再做g；
    • 代数系统之基本
  • 运算三性质：可交换、可结合、可分配、（可吸收、等幂）
  • 运算*对于运算+是可分配的，即：a*(b+c)=a*b+a*c，可见———可分配就是把可分配的那个运算一分为二，中间保持不变
  • 幺元（幺在左就叫左）、零元、逆元（x-1）
  • 一个二元运算可结合，有幺元，每个元素有左逆元，那么左逆元也是右逆元，且逆元唯一
  • 运算表：左在左，右在上
  • 广群（封闭）————>半群（可结合广群）————>独异点（含幺半群）————>群（全有逆元独异点）
  • 群————>阿贝尔群（可交换群）————>循环群（生成元a，a经过|G|次运算后仍等于a，且经过每一个元素，循环就是字面意思，其实只就见过加法类运算）
  • 做抽象证明题吧，就是要多假设，要多设未知的，要多设反结论（反证法）
    • 群
  • 这是一个群论入门视频的链接
  • n阶循环群G：n=|G|
  • 有限半群必存在等幂元：a*a=a（记住就行，难得推），如果这个a是幺元，就是含幺半群（独异点）
  • 含幺半群里的逆元：a有逆元，那么(a-1)-1 = a（其实就是显而易见的a-1的逆元是a，左右互相都满足），不仅如此，a和b运算后的逆元 = b的逆元和a的逆元相运算，（这不就置换矩阵吗）
  • 群：易知没有零元
  • klein四元群：唯一四元不循环群
  • 集合的积和逆：就把里面的元素的积和逆，记作AB，A-1
  • 陪集：单个元素在左就叫左陪集，aH，其中H是G的子集，意思就是a和H里的元素全算一边之后的集合
  • 拉格朗日定理：推不了一点，就是aH其实是以a为代表元素的G上的一个等价关系，而且|G|=k|H|，很神奇吧，群的元素个数是子群的整数倍
  • 由上面还可以得到一个神奇的东西：质数阶的群，它的子群只有 只包含幺元e的群 和 它本身 （有人给这玩意不知道为什么取了个名字叫 平凡子集）
  • 还有：质数阶的群，因为只有非平凡子集，所以必定是循环群（证明：由a生成的循环群必定是群G的子群，G的子群就是本身嘛，难道是{e😆}？）
    • 图的基本相关概念
  • 点连通度：k（G）是为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数
  • 边连通图：同上
  • 稠密图：
  • 稀疏图：
    • 平面图
  • 欧拉公式：点-边+面=2，v-e+f=2
  • 常识：一个平面图的每个面都由至少 3 个边围成，且每个边仅触及 2 个面。即2e>=3f
  • 面次数之和：∑deg(f)=2e；∑deg(f)>=k*f[其中k是一个面至少由几条边围成]
  • 完全图 K5和完全二分图 K3,3（汤玛森图）是最“小”的非平面图。
  • K5：
  • K3,3：
  • 库拉托夫斯基定理（英语：Kuratowski's theorem）：一个简单图是平面图当且仅当它并不包含一个是 K5 或 K3,3 的分割的子图。
  • 华格纳定理（英语：Wagner's theorem）：一个简单图是平面图当且仅当它不是 K5 或 K3,3 的次图。
      其中，一个图的次图是将它做有限多次的取子图(删除部分顶点和边)和做边收缩(将某边缩成一个顶点)所得到的图。
  • 对偶图：对偶图 G* 也是平版图，而且如果 G 是连通的，则 G** 与 G 在球面上是拓朴等价的。换句话说，他们是相同的平面映射。
    • 一笔画问题（边或点）
  • 哈密尔顿图（Hamiltonian graph）：图中从一个节点出发，经过每个顶点恰好一次，最后回到起点的回路。
         充分条件：每一对结点度数之和>=n-1。
  • 尤拉图（Eulerian graph）：图中每条边恰好出现一次。
         充要条件：连通且所有结点度数为偶数。
    • 树
  • 二叉树：非空的二叉树，若树叶总数为 n0，分支度为2的总数为 n2，则 n0 = n2 + 1。[点=边+1（n=e+1），单枝点+2*双枝点=边（n1+2*n2=e）]
  • 完全m叉树（树叶数t，分支点数i）：（m-1）i=t-1
  • 着色问题：Welsh-Powell算法——其实就是在进行贪心算法之前先对节点排了下序，具体过程如下：
         (1) 将图 G 中的节点按度数的递减顺序进行排列（这种排列可能不是唯一的，因为有些节点的度数可能相同）
         (2) 用第一种颜色对第一个节点着色，并按排列顺序对与前面着色节点不邻接的每一节点着上同样的颜色
         (3) 用第二种颜色对尚未着色的节点重复步骤 (2)，用第三种颜色继续这种做法，直到所有的节点全部着上色为止
  • 最小生成树：克鲁斯克尔算法（英语：Kruskal's algorithm）

    • 计算方法